martes, 7 de junio de 2011

Campo Eléctrico

El campo eléctrico es un campo físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica. Matemáticamente se describe como un campo vectorial en el cual una carga puntual de valor q sufre los efectos de una fuerza eléctrica Descripción: \vec F dada por la siguiente ecuación: 
En los modelos relativistas actuales, el campo eléctrico se incorpora, junto con el campo magnético, en campo tensorial cuadridimensional, denominado campo electromagnético Fμν.

Flujo del Campo Eléctrico: Se denomina flujo del campo eléctrico al producto escalar del vector campo por el vector superficie Flujo =E·S El vector superficie es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene. Cuando el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero. Si la superficie no es plana se divide la superficie en pequeñas superficies infinitesimalmente pequeñas. Entonces el flujo que atraviesa a cada una de ellas es infinitesimalmente pequeño y para hallar el flujo total habrá que valerse de una integral. 
Unidad del Campo Eléctrico: La unidad del campo eléctrico en el SI es Newton por Culombio (N/C), Voltio por metro (V/m) o, en unidades básicas, kg·m·s−3·A−1.

Formulas del Campo Eléctrico:


(N/C)  Newton /Coulomb,


  •  es el campo producido  por alguna  carga externa  a la  carga de prueba.
  • El campo eléctrico es una propiedad  de la fuente, por ejemplo el electrón pose carga propia y por lo tanto  pose un campo eléctrico en su alrededor.
  • La dirección  del vector E  es la dirección de la fuerza  que experimenta la carga  de prueba  positiva  cando se coloca en el campo.
  • Un campo eléctrico  existe en un punto si una carga  de prueba  en reposo situada  en ese  punto experimenta  una  fuerza  eléctrica.
  • Cuando la magnitud  y la dirección del E se conocen en algún punto, la fuerza  ejercida  sobre  cualquier  partícula  cargada  ubicada en ese punto puede calcularse con la ecuación
El existe siempre independientemente  de si  una  carga  de prueba  se localiza en ese punto o no.

Intensidad del Campo Eléctrico:
Se define el vector campo Descripción: Campo eléctrico o intensidad de campo eléctrico en cualquier punto como la fuerza eléctrica Descripción: Campo eléctrico que actúa sobre una unidad de carga de prueba positiva colocada en ese punto
Descripción: Campo eléctrico
se mide en N/C.
Intensidad de campo creado por una carga puntual aislada:
Descripción: Campo eléctrico
Intensidad de campo creado por un sistema de cargas puntuales:
 Descripción: Campo eléctrico
Biografía de Karl Friedrich Gauss: 

(Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria. El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró. En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos. Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica. En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai. Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la forma y el tamaño del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los datos observacionales, entre las cuales destaca la curva de distribución de errores que lleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de la estadística. Otros resultados asociados a su interés por la geodesia son la invención del heliotropo, y, en el campo de la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de las superficies curvas que, explicitadas en su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometría diferencial. También mereció su atención el fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo eléctrico (1833). Íntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha materia fueron los principios de la teoría matemática del potencial, que publicó en 1840. Otras áreas de la física que Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y, muy especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el tratado Investigaciones dióptricas (1841), en las cuales demostró que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las características adecuadas. Fue tal vez la última aportación fundamental de Karl Friedrich Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y rigor de tratamiento le  merecieron en vida el apelativo de «príncipe de los matemáticos.

Ley de Gauss:
 La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico (Descripción: \ \Phi) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico (Descripción: \vec{E}) que pasa por una superficie. Matemáticamente se la expresa como:
Descripción: \Phi = \oint_S \vec{E}_{(r)} \cdot d \vec{S}
La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío (ε0), así:
Descripción: \oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac {q}{\epsilon_0}
La forma diferencial de la ley de Gauss es
Descripción: \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
donde ρ es la densidad de carga. Esta expresión es para una carga en el vacío, para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico (Descripción: \vec{D}) y nuestra expresión obtiene la forma:
Descripción: \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho

Ejercicios
En los problemas en los que se quiera utilizar la Ley de Gauss, lo primero es estudiar qué simetría tiene el campo eléctrico Descripción: $\vec{E}$: esférica (si radialmente sale de, o apunta hacia, un único punto), cilíndrica, ... A continuación se aplica la Ley de Gauss eligiendo con ``ojo'' como superficie de integración S una superficie cerrada que tenga una simetría lo más parecida a la del campo eléctrico: así Descripción: $\vec{E}$ tendrá la misma dirección que el vector Descripción: $d\vec{S}$, Descripción: ${\vec{E}\cdot d\vec{S}=E dS}$, y además Descripción: $\vec{E}$ tendrá el mismo valor en todos los puntos de dicha superficie con lo que Descripción: ${\displaystyle \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\oint_S dS}$. Notar que no siempre se va a poder escoger una superficie cerrada que cumpla esta propiedad para todos sus puntos. Sin embargo, si el campo eléctrico tiene la suficiente simetría, sí que se va a poder elegir una superficie cerrada tal que la propiedad de arriba se cumpla para muchos de sus puntos, mientras que para el resto de los puntos de la superficie sobre la que integramos se obtenga queDescripción: ${\vec{E}\perp d\vec{S}}$ y estos últimos puntos no den ninguna contribución a Descripción: $\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}$.
En nuestro caso, puesto que la distribución de carga es uniforme, la dirección del campo eléctrico es radial y por lo tanto la superficie más útil para aplicar sobre ella el teorema de Gauss es una esfera 
Descripción: \begin{displaymath}
\oint_{S={\scriptscriptstyle \rm esfera}}\vec{E}\cdot d\vec{S} =E_r  4\pi r^2  ,
\end{displaymath}
con r el radio de la esfera. Lo único que queda por resolver es la carga que queda dentro de la superficie cerrada sobre la que hemos integrado:
  • Si la esfera sobre la que estamos integrando tiene un radio menor que Descripción: $R_1$, no contiene nada da carga.
  • Si la esfera de radio r contiene la corteza interior pero no llega a la corteza exterior, Descripción: $R_1<r<R_2$, entonces dentro de la superficie cerrada de integración hay una carga Descripción: $q_1$.
  • Si la superficie Descripción: $S$ cerrada ontiene a las dos cortezas, Descripción: $r>R_2$, entonces la carga en su interior es Descripción: $q_1+q_2$.

Descripción: \begin{displaymath}
E_r=\hspace{-1mm}\left\{
\begin{array}{ll}
0 & r<R_1  ,\\
...
...ac{q_1+q_2}{\varepsilon_0}} & r\geq R_2  .
\end{array}\right.
\end{displaymath}

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